5. Законы двойного отрицания, Дунса Скота, Клавия.

        Законы двойного отрицания позволяют снимать и вводить такое отрицание. Их можно выразить так: если неверно, что не- А, то А; если А, то неверно, что не- А. Например, «Если неверно, что Фреге    не знал    закона снятия двойного отрицания, то Фреге знал этот закон», и наоборот.                    Закон, носящий имя средневекового логика и фило­софа монаха Дунса Скота, характеризует ложное вы­сказывание. Смысл этого закона можно приблизитель­но передать так; из ложного утверждения вытекает ка­кое угодно утверждение. Применительно к конкретным утверждениям это звучит так: если дважды два равно четыре, то если это не так, то вся  математика ничего не стоит. В подобного рода рассуждениях есть несо­мненный привкус парадоксальности. Особенно заметным он становится, когда в качестве заключения берется явно ложное и совершенно не связанное с посылками высказывание. Например: если дважды два равно че­тыре, то если это не так, то Луна сделана из зеленого сыра. Явный парадокс! Не все описания логического сле­дования принимают данный закон в качестве правомер­ного способа рассуждения. Построены, хотя только срав­нительно недавно, такие теории логических связей, в ко­торых этот и подобные ему способы рассуждения счи­таются недопустимыми. Известен анекдот о Б. Расселе, доказавшем своему собеседнику на каком-то вечере, что из того, что два плюс два равно пяти, вытекает, что он, Рассел, — римский папа. В доказательстве использовался закон Дунса Скота. Отнимем от обеих сторон равенства 2 + 2 = 5 по 3. Получим: 1=2. Если собеседник утверждает, что Рассел не является римским папой, то этот папа и Рассел — два разных лица. Но поскольку 1=2, папа и Рассел — это одно и то же лицо.

   Закон, названный именем еще одного средневекового монаха и логика — Клавия, лежит в основе доказатель­ства путем приведения к абсурду. Закон Клавия гово­рит, что если из ложности утверждения вытекает его истинность, то утверждение истинно. К законам доказательства путем приведения к аб­сурду относится и принцип, говорящий, что если из утверждения вытекает противоречие, то это утверждение ложно. Например, если из утверждения: «Треугольник имеет четыре угла» — выводится как то, что у треуголь­ника три угла, так и то, что у него не три угла, это означает, что исходное утверждение ложно. Приведенные формулировки законов логики и приме­ров к этим законам являются весьма неуклюжими кон­струкциями, и звучат они довольно непривычно. И это даже в случае самых простых по своей структуре за­конов. Естественный язык, использовавшийся в этих формулировках,- явно не лучшее средство для данной цели. И дело даже не столько в громоздкости получае­мых выражений, сколько в отсутствии ясности и точ­ности в передаче законов. Мало сказать, что о законах логики трудно говорить, пользуясь только обычным языком. Строго подходя к делу, нужно сказать, что они вообще не могут быть адекватно переданы на этом языке. Не случайно современная логика строит для выраже­ния своих законов и связанных с ними понятий специ­альный язык. Этот формализованный язык отличается от обычного языка прежде всего тем, что следует за логической формой и воспроизводит ее даже в ущерб краткости и легкости общения.

6. Многозначная логика.

          Современная логика, описывающая принципы мышления с помощью специально созданного для этого формализованного языка, исследует логические законы только как элементы систем таких законов. Она инте­ресуется при этом не столько отдельными законами, сколько системами в целом. В подобном подходе нет в общем-то ничего ориги­нального. Всякая научная теория представляет собой систему взаимосвязанных утверждений, упорядоченную иерархическую структуру, налагающую свой отпечаток на каждое утверждение, входящее в нее. Любое из них, будучи вырванным из системы, перестает быть частью того живого организма, каким она является, и теряет тот сложный и разветвленный смысл, каким она наде­ляет каждый свой элемент. Логические системы, в рамках которых только и рас­сматриваются логические законы, принято называть «ло­гиками». Группы таких «логик» также именуются обыч­но «логиками». Логика как наука включает бесконечное число логи­ческих систем, или «логик». Каждая из них представля­ет собой абстрактную знаковую модель и дает описа­ние логической структуры какого-то определенного фраг­мента, или типа, наших рассуждений. Например, бесконечное множество систем, обладаю­щих существенной общностью и объединяемых в рамках «модальной логики», распадается на логику знания, ло­гику убеждения, логику норм, логику времени и т. д. Каждая из этих «логик» также может слагаться из не­скольких групп систем. К примеру, логика оценок вклю­чает логику абсолютных оценок, формулируемых с по­мощью терминов «хорошо» и «плохо», и логику сравни­тельных оценок, использующих термины «лучше» и «хуже». И так до отдельной, индивидуальной логической системы. Логика как наука едина. Однако слагается она из множества более или менее частных систем, ни одна из которых не может претендовать на выявление логиче­ских характеристик мышления в целом. В этом аспекте современная логика важным образом отличается от старой логики. Последняя не знала никаких многих «логик».   Проблема  сведения  в  единство  тех  фрагментарных описаний мышления, которые даются отдельны­ми логическими системами, перед нею вообще не стояла. Мысль, что единая современная логика включает большое число отдельных «логик», если и необычна, то только по форме своего выражения. Сходное утвержде­ние является верным в случае всякой развитой науки. Скажем, биология едина, но она слагается из мно­гих отдельных теорий. Ни одна из них не охватывает и не исчерпывает всего круга явлений, изучаемых дан­ной наукой. Только в совокупности и в сложных дина­мичных взаимосвязях эти теории составляют своеобраз­ное единство, называемое «биологической наукой». В нее входят биология животных и биология растений, первую из них называют также «зоологией», а вторую — «бо­таникой». Можно говорить далее о биологии млекопи­тающих, о биологии домашних млекопитающих и, на­конец, о биологии коровы. Все это аналогично тому, что имеет место в логике. Все логические системы принято делить самым об­щим образом на классические и неклассиче­ские. Первые возникли и сложились в конце прошло­го и начале нынешнего века и к настоящему времени хорошо изучены. Вторые являются продуктом более позднего развития логики, история некоторых из них насчитывает менее двух десятилетий. Исследование не­классических логических систем, составляющих в сово­купности неклассическую логику, — одна из наиболее важных задач современной логики. Различие между классическими и неклассическими системами не сводится к чисто историческим моментам. Вторыми принимается во внимание, как правило, боль­шее число факторов, определяющих логическую струк­туру рассуждений. Результатом этого являются теории, дающие более полное и детализированное описание про­цессов мышления. Некоторые неклассические системы не ограничиваются расширением и конкретизацией клас­сической теории. Оценивая ее как недостаточно адекват­ную в ряде моментов, они предлагают альтернативное описание тех же самых логических процедур. В неклассическую логику входит большое число разнородных логических теорий. Одна из них — интуи­ционистская логика — уже упоминалась при разговоре о законе исключенного третьего. Из числа других наи­более известны многозначная логика и модальная логика. Сопоставление основных идей, лежащих в фундамен­те классической логики, с одной стороны, и разных вет­вей неклассической логики — с другой, интересно с точки зрения понимания каждого из этих разделов ло­гики. Такое сопоставление позволяет также яснее пред­ставить общие принципы подхода современной логики к описанию мышления. При построении как классических, так и некласси­ческих логических систем некоторые понятия и методы принимаются обычно без всяких дальнейших пояснений, можно сказать, как сами собою разумеющиеся. В их числе принципиально важные понятия переменной, функции и др. В современной логике имеется вместе с тем особое направление, анализирующее и разъясняю­щее как раз данные понятия и методы. Это так назы­ваемая комбинаторная логика. Начало ей поло­жила в 1924 году статья русского логика М. Шейнфинкеля «О кирпичах здания математической логики».

          Классическая логика основывается на принципе, со­гласно которому всякое высказывание является либо ис­тинным, либо ложным. Это так называемый принцип двузначности. Саму логику, допускающую только истину и ложь и не предполагающую ничего промежу­точного между ними, обычно именуют двузначной. Ей противопоставляют многозначные системы. В последних наряду с истинными и ложными утвержде­ниями допускаются также разного рода «неопределен­ные» утверждения, учет которых сразу же не только усложняет, но и меняет всю картину. Принцип двузначности был известен еще Аристотелю, который не считал его универсальным и не рас­пространял его действие на высказывания   о    будущем. Два враждебных флота расположились друг против друга и выжидают утра и вместе с ним подходящего ветра. Будет ли завтра морская битва? Очевидно, что она или состоится, или же не состоится. Но, по мысли Аристотеля, ни одно из этих двух предсказаний не яв­ляется сегодня ни истинным, ни ложным. Нет еще твер­дой причины ни для того, чтобы битва произошла, ни для того, чтобы ее не случилось. Оба варианта возмож­ны в равной мере, и все будет зависеть от дальнейшего

хода событий. Могут измениться планы флотоводцев, может случиться буря и разметать флоты по морю. По­ка же нельзя утверждать с определенностью ни то, что битва будет, ни то, что ей не бывать. Оба эти утвержде­ния возможны, но ни одно из них не является сейчас ни истинным, ни ложным. Аналогично обстоит дело с вопросом, будет ли дан­ный плащ разрезан или нет. Все зависит от решения его хозяина, а оно может измениться в любой  момент. Аристотелю казалось, что высказывания о буду­щих случайных событиях, наступление которых зависит от воли человека, не являются ни истинными, ни лож­ными. Они не подчиняются принципу двузначности. Прошлое и настоящее однозначно определены и не под­вержены изменению. Будущее же в определенной мере свободно для изменения и выбора. Подход Аристотеля уже в древности вызвал ожесто­ченные споры. Высоко оценивал его Эпикур, допускав­ший существование случайных событий. Известный же древнегреческий логик Хрисипп, категорически отрицав­ший случайное, с Аристотелем не соглашался. Он счи­тал принцип двузначности одним из основных положе­ний не только всей логики, но и философии. В более позднее время положение, что всякое вы­сказывание либо истинно, либо ложно, оспаривалось многими и по многим причинам. Указывалось, в частно­сти, на то, что оно затрудняет анализ высказываний о будущем, высказываний о неустойчивых, переходных со­стояниях, о несуществующих объектах, подобных «ны­нешнему королю Франции», об объектах, недоступных наблюдению, наподобие «абсолютно черного тела» и т. д. Но только в современной логике оказалось возможным реализовать сомнения в универсальности принципа дву­значности в форме логических систем. Этому способство­вало широкое использование ею методов, не препятствую­щих формальному подходу к логическим проблемам. Первые многозначные логики построили независимо друг от друга польский логик Я. Лукасевич в 1920 году и американский логик Э. Пост в 1921 году. С тех пор построены и исследованы десятки и сотни таких «логик».

Я. Лукасевичем была предложена трехзначная логи­ка, основанная на предположении, что высказывания бы­вают истинными, ложными и возможными, или неопре­деленными. К последним были отнесены высказывания наподобие: «Я буду в Москве в декабре будущего года». Событие, описываемое этим высказыванием, сейчас ни­как не предопределено ни позитивно, ни негативно. Зна­чит, высказывание не является ни истинным, ни ложным, оно только возможно. Все законы трехзначной логики Лукасевича оказа­лись также законами и классической логики; обратное, однако, не имело места. Ряд классических законов от­сутствовал в трехзначной логике. Среди них были закон противоречия, закон исключенного третьего, законы кос­венного доказательства и др. То, что закона противоре­чия не оказалось в трехзначной логике, не означало, ко­нечно, что она была в каком-то смысле противоречива или некорректно построена. Э. Пост подходил к построению многозначных логик чисто формально. Пусть 1 означает истину, а 0 — ложь. Естественно допустить тогда, что числа между единицей и нулем обозначают какие-то уменьшающиеся к нулю степени истины. Такой подход вполне правомерен на первом этапе. Но чтобы построение логической системы перестало быть чисто техническим упражнением, а сама система — су­губо формальной конструкцией, в дальнейшем необхо­димо, конечно, придать ее символам определенный логи­ческий смысл, содержательно ясную интерпретацию. Вопрос о такой интерпретации — это как раз самая сложная и спорная проблема многозначной логики. Как только между истиной и ложью допускается что-то про­межуточное, встает вопрос; что, собственно, означают высказывания, не относящиеся ни к истинным, ни к лож­ным? Кроме того, введение промежуточных степеней истины изменяет обычный смысл самих понятий истины и лжи. Приходится поэтому не только придавать смысл промежуточным степеням, но и переистолковывать са­ми понятия истины и лжи. Было много попыток содержательно обосновать многозначные логические системы. Однако до сих пор остается спорным, являются ли такие системы просто «интеллектуальным упражнением» или они все же гово­рят что-то о принципах нашего мышления. Многозначная логика никоим образом не отрицает и не дискредитирует двузначную. Напротив, первая поз­воляет более ясно понять основные идеи, лежащие в основе второй, и является в определенном смысле ее обобщением.