5. Законы двойного отрицания, Дунса Скота, Клавия.
Законы двойного
отрицания позволяют снимать и вводить такое отрицание. Их можно выразить так: если неверно, что не- А, то А; если А, то
неверно, что не- А. Например, «Если неверно,
что Фреге не знал закона снятия двойного отрицания, то Фреге
знал этот закон», и наоборот. Закон, носящий имя средневекового логика и философа монаха Дунса Скота, характеризует ложное высказывание. Смысл этого закона можно приблизительно передать так; из ложного утверждения вытекает какое угодно утверждение. Применительно к
конкретным утверждениям это звучит
так: если дважды два равно четыре, то
если это не так, то вся математика
ничего не стоит. В подобного рода рассуждениях есть несомненный привкус парадоксальности.
Особенно заметным он
становится, когда в качестве заключения берется явно ложное и совершенно не связанное с посылками высказывание. Например: если дважды
два равно четыре, то если это не так, то Луна сделана из зеленого сыра. Явный парадокс! Не все описания логического следования принимают данный закон в качестве правомерного
способа рассуждения. Построены, хотя только сравнительно недавно, такие теории логических связей, в которых этот и подобные ему способы рассуждения считаются недопустимыми. Известен
анекдот о Б. Расселе, доказавшем своему собеседнику на каком-то вечере, что из того, что два плюс два равно пяти, вытекает, что он, Рассел, —
римский папа. В доказательстве
использовался закон Дунса Скота. Отнимем
от обеих сторон равенства 2 + 2 = 5 по 3. Получим: 1=2. Если собеседник утверждает, что Рассел не является римским папой, то этот папа и Рассел — два разных лица.
Но поскольку 1=2, папа и
Рассел — это одно и то же лицо.
Закон, названный именем еще
одного средневекового монаха и логика — Клавия, лежит в основе доказательства путем приведения
к абсурду. Закон Клавия говорит, что если из ложности утверждения вытекает его
истинность, то утверждение истинно. К законам доказательства путем
приведения к абсурду
относится и принцип, говорящий, что если из утверждения вытекает противоречие, то это утверждение ложно. Например, если из утверждения:
«Треугольник имеет четыре
угла» — выводится как то, что у треугольника три угла, так и то, что у него не три угла, это означает, что исходное утверждение
ложно. Приведенные
формулировки законов логики и примеров к этим
законам являются весьма неуклюжими конструкциями,
и звучат они довольно непривычно. И это даже в случае самых простых по своей структуре законов.
Естественный язык, использовавшийся в этих формулировках,-
явно не лучшее средство для данной цели. И дело даже не столько в громоздкости
получаемых выражений, сколько в
отсутствии ясности и точности в
передаче законов. Мало
сказать, что о законах логики трудно говорить, пользуясь только обычным языком. Строго подходя к делу, нужно сказать, что они вообще не
могут быть адекватно
переданы на этом языке. Не
случайно современная логика строит для выражения своих законов и связанных с
ними понятий специальный
язык. Этот формализованный язык отличается от обычного языка прежде всего тем, что следует за логической формой и воспроизводит ее даже
в ущерб краткости и
легкости общения.
6. Многозначная логика.
Современная логика, описывающая принципы мышления с помощью
специально созданного для этого формализованного
языка, исследует логические законы только
как элементы систем таких законов. Она интересуется при этом не столько отдельными законами, сколько системами в целом. В
подобном подходе нет в общем-то ничего оригинального. Всякая научная теория представляет собой систему взаимосвязанных утверждений,
упорядоченную иерархическую
структуру, налагающую свой отпечаток на каждое утверждение, входящее в нее. Любое из них, будучи вырванным из системы, перестает
быть частью того живого
организма, каким она является, и теряет тот сложный и разветвленный смысл, каким она наделяет каждый свой элемент. Логические системы, в
рамках которых только и рассматриваются логические законы, принято называть «логиками». Группы таких
«логик» также именуются обычно «логиками». Логика как наука включает бесконечное число логических систем, или
«логик». Каждая из них представляет собой абстрактную знаковую модель и дает
описание
логической структуры какого-то определенного фрагмента, или типа,
наших рассуждений. Например, бесконечное множество систем, обладающих существенной
общностью и объединяемых в рамках «модальной логики», распадается на логику
знания, логику убеждения, логику норм, логику времени и т. д. Каждая из этих
«логик» также может слагаться из нескольких групп систем. К примеру, логика
оценок включает логику абсолютных оценок, формулируемых с помощью терминов
«хорошо» и «плохо», и логику сравнительных оценок, использующих термины «лучше»
и «хуже».
И так до отдельной, индивидуальной логической системы. Логика как наука едина. Однако слагается она
из множества более или менее
частных систем, ни одна из которых не может
претендовать на выявление логических
характеристик мышления в целом. В этом аспекте современная логика важным образом отличается от старой логики. Последняя не знала никаких многих «логик».
Проблема сведения в единство тех
фрагментарных описаний
мышления, которые даются отдельными
логическими системами, перед нею вообще не стояла. Мысль, что единая
современная логика включает большое число отдельных «логик», если и необычна, то только по форме своего
выражения. Сходное утверждение является верным в случае всякой развитой науки. Скажем, биология
едина, но она слагается из многих отдельных теорий. Ни одна из них не охватывает и не исчерпывает
всего круга явлений, изучаемых данной наукой. Только в совокупности и в сложных
динамичных
взаимосвязях эти теории составляют своеобразное единство, называемое «биологической наукой». В нее входят биология животных и биология растений, первую
из них называют также «зоологией», а
вторую — «ботаникой». Можно говорить далее о биологии млекопитающих, о биологии домашних млекопитающих и, наконец, о биологии коровы. Все это аналогично тому, что имеет место в логике. Все логические
системы принято делить самым общим образом на классические и неклассические. Первые возникли
и сложились в конце прошлого и начале нынешнего века и к настоящему времени хорошо изучены. Вторые
являются продуктом более позднего
развития логики, история некоторых из них насчитывает менее двух десятилетий.
Исследование неклассических логических систем, составляющих в совокупности неклассическую логику, — одна из наиболее важных задач современной логики. Различие между
классическими и неклассическими системами не сводится к чисто историческим
моментам. Вторыми
принимается во внимание, как правило, большее число факторов, определяющих логическую
структуру
рассуждений. Результатом этого являются теории, дающие более полное и
детализированное описание процессов мышления. Некоторые неклассические системы не ограничиваются
расширением и конкретизацией классической теории. Оценивая ее как недостаточно
адекватную
в ряде моментов, они предлагают альтернативное описание тех же самых логических
процедур. В неклассическую логику входит большое число разнородных
логических теорий. Одна из них — интуиционистская логика — уже упоминалась при
разговоре о
законе исключенного третьего. Из числа других наиболее известны многозначная
логика и модальная логика. Сопоставление основных идей, лежащих в фундаменте классической
логики, с одной стороны, и разных ветвей неклассической логики — с другой,
интересно с точки зрения понимания каждого из этих разделов логики. Такое
сопоставление позволяет также яснее представить общие принципы подхода современной
логики к
описанию мышления. При построении как классических, так и неклассических логических систем некоторые понятия и методы принимаются обычно без всяких дальнейших
пояснений, можно сказать, как сами собою
разумеющиеся. В их числе
принципиально важные понятия переменной, функции и др. В современной логике имеется вместе с тем особое
направление, анализирующее и разъясняющее
как раз данные понятия и методы. Это так называемая комбинаторная логика. Начало ей положила в 1924 году статья русского логика М. Шейнфинкеля «О кирпичах здания математической логики».
Классическая логика основывается на принципе,
согласно
которому всякое высказывание является либо истинным, либо ложным. Это так
называемый принцип двузначности. Саму логику, допускающую только истину и ложь и не
предполагающую ничего промежуточного между ними, обычно именуют двузначной. Ей противопоставляют многозначные
системы. В последних наряду с
истинными и ложными утверждениями
допускаются также разного рода «неопределенные» утверждения, учет которых сразу же не только усложняет, но и меняет всю картину. Принцип двузначности
был известен еще Аристотелю, который
не считал его универсальным и не распространял
его действие на высказывания о будущем. Два враждебных флота расположились друг против
друга и
выжидают утра и вместе с ним подходящего ветра. Будет ли завтра морская битва?
Очевидно, что она или состоится, или же не состоится. Но, по мысли Аристотеля, ни одно из
этих двух предсказаний не является сегодня ни истинным, ни ложным. Нет еще
твердой
причины ни для того, чтобы битва произошла, ни для того, чтобы ее не случилось. Оба
варианта возможны в равной мере, и все будет зависеть от дальнейшего
хода событий. Могут
измениться планы флотоводцев, может случиться буря и разметать флоты по морю. Пока же нельзя
утверждать с определенностью ни то, что битва будет, ни то, что ей не бывать.
Оба эти утверждения возможны, но ни одно из них не является сейчас ни истинным, ни
ложным. Аналогично обстоит дело с вопросом, будет ли данный плащ разрезан или нет. Все
зависит от решения его
хозяина, а оно может измениться в любой
момент. Аристотелю
казалось, что высказывания о будущих случайных событиях, наступление которых зависит от воли человека, не
являются ни истинными, ни ложными. Они не подчиняются принципу двузначности. Прошлое и настоящее однозначно
определены и не подвержены
изменению. Будущее же в определенной мере свободно для изменения и выбора. Подход Аристотеля уже в древности
вызвал ожесточенные
споры. Высоко оценивал его Эпикур, допускавший существование случайных событий. Известный же
древнегреческий логик Хрисипп, категорически отрицавший случайное, с Аристотелем не
соглашался. Он считал принцип двузначности одним из основных положений не только всей логики, но и
философии. В более
позднее время положение, что всякое высказывание либо истинно, либо ложно, оспаривалось многими и по многим причинам.
Указывалось, в частности, на то, что оно затрудняет анализ высказываний о будущем, высказываний о неустойчивых,
переходных состояниях, о несуществующих объектах, подобных «нынешнему королю Франции», об объектах,
недоступных наблюдению,
наподобие «абсолютно черного тела» и т. д. Но только в
современной логике оказалось возможным реализовать сомнения в универсальности принципа двузначности в форме логических систем.
Этому способствовало широкое использование ею методов, не препятствующих формальному подходу к логическим
проблемам. Первые
многозначные логики построили независимо друг от друга польский логик Я. Лукасевич в 1920 году и американский логик Э. Пост в 1921
году. С тех пор построены и исследованы десятки и сотни таких «логик».
Я. Лукасевичем была предложена трехзначная логика, основанная на
предположении, что высказывания бывают истинными, ложными и возможными, или
неопределенными.
К последним были отнесены высказывания наподобие: «Я буду в Москве в декабре будущего года». Событие, описываемое этим высказыванием, сейчас никак не предопределено ни позитивно, ни негативно.
Значит, высказывание не является ни
истинным, ни ложным, оно только
возможно. Все законы трехзначной логики Лукасевича оказались также законами и классической логики;
обратное, однако, не имело места. Ряд
классических законов отсутствовал в трехзначной логике. Среди них были
закон противоречия, закон исключенного третьего, законы косвенного доказательства и др. То, что закона
противоречия не оказалось в
трехзначной логике, не означало, конечно,
что она была в каком-то смысле противоречива или некорректно построена. Э. Пост подходил к построению многозначных логик чисто
формально. Пусть 1 означает истину, а 0 — ложь. Естественно допустить тогда, что числа между единицей и нулем обозначают какие-то уменьшающиеся к нулю степени истины. Такой подход вполне
правомерен на первом этапе. Но чтобы построение логической системы
перестало быть чисто техническим упражнением,
а сама система — сугубо формальной
конструкцией, в дальнейшем необходимо, конечно, придать ее символам
определенный логический смысл, содержательно
ясную интерпретацию. Вопрос о такой интерпретации — это как раз самая
сложная и спорная проблема многозначной логики. Как только между истиной
и ложью допускается что-то промежуточное, встает вопрос; что, собственно,
означают высказывания, не относящиеся ни к истинным, ни к ложным? Кроме того, введение промежуточных степеней истины изменяет обычный смысл самих понятий истины и
лжи. Приходится поэтому не только придавать смысл промежуточным степеням, но и переистолковывать сами понятия истины и лжи. Было
много попыток содержательно обосновать многозначные логические системы. Однако до сих пор остается спорным,
являются ли такие системы просто «интеллектуальным
упражнением» или они все же говорят
что-то о принципах нашего мышления. Многозначная логика никоим образом не отрицает и не дискредитирует двузначную. Напротив, первая
позволяет более ясно понять основные
идеи, лежащие в основе второй, и
является в определенном смысле ее обобщением.
|